项目结构
三条实验链互不混用对象。核在 src/cycles.py（Gale–Shapley、羡慕图、Tarjan SCC、分层/稀疏生成、$P/Q$、$Z$）。
| 链 | 市场 | 问题 |
|---|---|---|
| 分层全名单 | $n\sim 16$–$36$，两层 $A/B$ | 环、唯一性、巨型 SCC、$Z$ |
| 稀疏含单身 | $n_m=60$，$Wq=\lambda$ | $p_m$ vs $1-e^{-\lambda}$、乡村医院、$P,Q$ |
| 意愿分解 | 同上 | $\Phi$ 与 $s=$ 空名单 $+$ 被迫 |
思路
稳定匹配里四件经常被揉在一起的事，这里拆开。
- 环 $\neq$ 多稳定。 唯一性看 lattice 上 $\mu_M=\mu_W$；环看羡慕图 $G(\mu)$ 的 SCC。跨层环由 $D_{AB}$ 控制，层内环由层内噪声控制。
- 可用性 $\neq$ 匹配率。 $1-e^{-\lambda}$ 只说名单非空。稳定匹配还要过竞争，缺口 $\Delta$ 是稳定税。一对一含单身是名额为 1 的多对一，乡村医院定理钉住单身集合。
- 未婚率 $\neq$ 婚恋意愿。 $\Phi=\mathbb{E}|L_i|/W$。单身 $s=$ 空名单 $+$ 被迫未匹配。$s$ 可反演 $\lambda$，本身不是 $\Phi$。
- $Z(\mu)$ 覆盖羡慕人数。 稳定时阻塞对数为 0，$Z$ 仍可为正：单向羡慕对不齐。
1. 偏好环、唯一稳定匹配与巨型 SCC
确定性唯一几乎消灭环；偶发唯一仍常带着层内环。全名单网格 $\mathrm{Corr}(U,C)\approx -0.84$。
| 条件 | $\widehat{\mathbb{P}}(U)$ | $\widehat{\mathbb{P}}(C)$ |
|---|---|---|
| $\max(\alpha,\beta)=1$ | 1.00 | 0.00 |
| $\max(\alpha,\beta)\ge 0.8$ | 0.69 | 0.27 |
| $\alpha\le 0.3$ 且 $\beta\le 0.3$ | 0.03 | 1.00 |
$\beta\gtrsim 0.5$ 时 $D_{AB}\to 1$，跨层环掉到 0；层内环升到 $0.74$–$0.83$，直到 $\beta=1$ 才清零。群体分层只消灭跨层环。
$\alpha=0.25,\beta=0$ 时最大 SCC 约占 $50\%$；$\beta\to 1$ 掉到 $3\%$。$\alpha=0.7$ 时全程 $\lesssim 11\%$。环、巨型 SCC、非唯一同向，阈值不同。
2. 稀疏大市场、意愿与乡村医院
对男性 $i$，令 $L_i=\{j:j\succ_i\emptyset\}$。婚恋意愿
$$\Phi_m=\frac1M\sum_i\frac{|L_i|}{W},\qquad \lambda_m=W\Phi_m.$$
单身率 $s_m=\mathbb{P}(L_i=\emptyset)+\mathbb{P}(L_i\neq\emptyset,\mu(i)=\emptyset)$。空名单 $\to e^{-\lambda}$；被迫单身是稳定税落在有名单的人身上。$1-s$ 不是 $\Phi$。
| $\gamma$ | $\lambda$ | $\Phi$ | $s_m$ | 空名单 | 被迫 | $1-s_m$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1.0 | 1.6 | 0.027 | 0.350 | 0.200 | 0.150 | 0.650 |
| 1.0 | 3.0 | 0.050 | 0.202 | 0.040 | 0.163 | 0.798 |
| 1.25 | 2.2 | 0.046 | 0.344 | 0.113 | 0.231 | 0.656 |
| 1.25 | 6.0 | 0.122 | 0.217 | 0.004 | 0.213 | 0.783 |
$\lambda$ 小时未婚以空名单为主；$\lambda\gtrsim 2$ 且 $\gamma>1$ 时男侧以被迫为主。$\Phi$ 是几个百分点，$1-s$ 是几十个百分点。
稳定匹配率一律低于可用性 $\psi=1-e^{-\lambda}$，$\Delta\approx 0.07$–$0.25$，随男多变大。短边吃匹配。九组 $(\gamma,\lambda)$ 上双侧 GS 匹配集合一致率 $=1$。
3. $Z(\mu)$：双向羡慕人数
$i$ 计入 $Z(\mu)$ 当且仅当存在比 $\mu(i)$ 更好的异性，且存在认为 $i$ 比其当前配偶更好的异性。二者不必同一人。稳定匹配阻塞对数为 0，$Z$ 仍可为正。
随机匹配 $Z/N\approx 0.93$；稳定核 $0.65$–$0.80$。rotation 位移多数 $|\Delta Z/N|<0.03$。可以无环而 $Z$ 高（$\beta=1$）。稀疏时 $Z/N$ 随 $\lambda$ 从 $0.02$ 长到 $0.3+$。
4. 代入现实数据
《中国统计年鉴 2025》：2024 年 20–34 岁男性比女性多约 1400 万，该段 $\gamma\approx 1.09$–$1.15$。2024 年 30 岁未婚率男 $40.1\%$、女 $21.5\%$。未婚率是结果 $s$，用来反演 $\Phi$。
| 年龄 | 观测 $s_m,s_w$ | $\hat\lambda$ | $\hat\Phi$ | 空名单男 | 被迫男 | $1-s_m$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 30 | 0.401, 0.215 | 2.2 | 0.046 | 0.11 | 0.23 | 0.60 |
| 35 | 0.159, 0.060 | 4.0 | 0.083 | 0.01 | 0.23 | 0.84 |
30 岁男性未婚约四成，名单份额只有约 $5\%$ 的异性；未婚里大约四分之一是空名单，一半以上是有名单却匹配不上的被迫单身。朴素 $1-s\approx 0.60$ 把意愿高估一个数量级。
NRMP 2024：外科填满率 $>99\%$（短边出清）；IMG 匹配率约 $50$–$65\%$（长边加稳定税）。换算法打散不了被钉住的未匹配集合。
5. 可带走的阈值
- 跨层环：$d^*\approx 0.95$–$1$；$D_{AB}\ge 0.99$ 时跨层环经验上消失。
- 一侧 $\alpha=1$ 或 $\beta=1$ 则 $\mathbb{P}(U)=1,\mathbb{P}(C)=0$；$\max(\alpha,\beta)\ge 0.8$ 给出 $\mathbb{P}(U)\gtrsim 0.69$。
- $\gamma=1$ 时 $\lambda^*\approx 4$ 使 $p_m\approx 0.85$；$\gamma=1.25$ 时 $\lambda=6$ 仍只有 $p_m\approx 0.79$。
- $\Phi=\mathbb{E}|L_i|/W$；$s=e^{-\lambda}+s_{\mathrm{forced}}$。30 岁反演 $\hat\Phi\approx 0.05$。
- 有名单者 $P\gtrsim 0.5$（$\lambda=3$ 时与 $Q\gtrsim 0.5$ 合取则匹配率 $1$）。
- 稳定核 $Z/N\approx 0.65$–$0.80$；rotation 几乎不移动 $Z$。
